3.354 \(\int \text{sech}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=85 \[ \frac{\sqrt{a-b} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{f}+\frac{\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{f} \]

[Out]

(Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Si
nh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/f

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0920647, antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.261, Rules used = {3190, 402, 217, 206, 377, 203} \[ \frac{\sqrt{a-b} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{f}+\frac{\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2],x]

[Out]

(Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/f + (Sqrt[b]*ArcTanh[(Sqrt[b]*Si
nh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/f

Rule 3190

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e +
f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 402

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.)/((c_) + (d_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Dist[b/d, Int[(a + b*x^2)^(p - 1), x], x]
- Dist[(b*c - a*d)/d, Int[(a + b*x^2)^(p - 1)/(c + d*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d,
0] && GtQ[p, 0] && (EqQ[p, 1/2] || EqQ[Denominator[p], 4])

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 377

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)/((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Subst[Int[1/(c - (b*c - a*d)*x^n), x]
, x, x/(a + b*x^n)^(1/n)] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[n*p + 1, 0] && IntegerQ[n]

Rule 203

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTan[(Rt[b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \text{sech}(e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{a+b x^2}}{1+x^2} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac{(a-b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\left (1+x^2\right ) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{f}+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac{(a-b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-(-a+b) x^2} \, dx,x,\frac{\sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{f}+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{f}\\ &=\frac{\sqrt{a-b} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a-b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{f}+\frac{\sqrt{b} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{f}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.710105, size = 130, normalized size = 1.53 \[ \frac{\frac{\sqrt{a} \sqrt{b} \sinh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a}}\right ) \sqrt{\frac{2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b}{a}}}{\sqrt{2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b}}+\sqrt{a-b} \tan ^{-1}\left (\frac{\sqrt{2 a-2 b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{2 a+b \cosh (2 (e+f x))-b}}\right )}{f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sech[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2],x]

[Out]

(Sqrt[a - b]*ArcTan[(Sqrt[2*a - 2*b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[2*a - b + b*Cosh[2*(e + f*x)]]] + (Sqrt[a]*Sqrt[b]*Ar
cSinh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]]*Sqrt[(2*a - b + b*Cosh[2*(e + f*x)])/a])/Sqrt[2*a - b + b*Cosh[2*(e + f
*x)]])/f

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.091, size = 51, normalized size = 0.6 \begin{align*}{\frac{1}{f}\mbox{{\tt ` int/indef0`}} \left ( -{\frac{-b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}-a}{ \left ( \cosh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}{\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}}},\sinh \left ( fx+e \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(sech(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x)

[Out]

`int/indef0`(-(-b*sinh(f*x+e)^2-a)/cosh(f*x+e)^2/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),sinh(f*x+e))/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a} \operatorname{sech}\left (f x + e\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(b*sinh(f*x + e)^2 + a)*sech(f*x + e), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 2.644, size = 13256, normalized size = 155.95 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(sqrt(b)*log(-((a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x
+ e)^7 + (a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*sinh(f*x + e)^8 + 2*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 2*(a
^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3 + 14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 4*(14*(a^2*b -
2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b
- 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (70*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^
3 + 30*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh
(f*x + e)^5 + 10*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x + e
))*sinh(f*x + e)^3 + b^3 + 2*(3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^6
+ 15*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cos
h(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*((a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x
+ e)*sinh(f*x + e)^5 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*sinh(f*x + e)^6 - 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 3*(5*(a^2
- 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^2 - a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(5*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^
3 - 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 - (4*a*b - 3*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (15*(a^2 - 2*a*b
+ b^2)*cosh(f*x + e)^4 - 18*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^2 - 4*a*b + 3*b^2)*sinh(f*x + e)^2 - b^2 + 2*(3*
(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^5 - 6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^3 - (4*a*b - 3*b^2)*cosh(f*x + e))*s
inh(f*x + e))*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e
)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(2*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^
2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e))*s
inh(f*x + e))/(cosh(f*x + e)^6 + 6*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*cos
h(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + sinh(f*x
+ e)^6)) + 2*sqrt(-a + b)*log(((a - 2*b)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a - 2*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + (a - 2
*b)*sinh(f*x + e)^4 - 2*(3*a - 2*b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*(a - 2*b)*cosh(f*x + e)^2 - 3*a + 2*b)*sinh(f*x + e
)^2 + 2*sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(-a + b)*sqrt((b*c
osh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)
^2)) + 4*((a - 2*b)*cosh(f*x + e)^3 - (3*a - 2*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + a - 2*b)/(cosh(f*x + e)^4 + 4
*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 + 1)*sinh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)
^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 + cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)) + sqrt(b)*log((b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x +
e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*a*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + a)*sinh(f*x + e)^2 +
sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^
2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(b*c
osh(f*x + e)^3 + a*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f
*x + e)^2)))/f, 1/4*(4*sqrt(a - b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x
+ e)^2 - 1)*sqrt(a - b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x +
e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)
^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 +
(2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)) + sqrt(b)*log(-((a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*
b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^7 + (a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*sinh(f*x + e)^8 + 2*(a^3 - 4*a^2*b
+ 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 2*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3 + 14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x
+ e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 4*(14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*
cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (70*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*co
sh(f*x + e)^4 + 9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3 + 30*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x +
e)^4 + 4*(14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 10*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^3 +
(9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 + b^3 + 2*(3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(1
4*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 15*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 3*a*b^2 - 2
*b^3 + 3*(9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*((a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x
+ e)^6 + 6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*sinh(f*x + e)^6 - 3*(a^2 -
2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 3*(5*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^2 - a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^4
+ 4*(5*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^3 - 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 - (4*a*b - 3
*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (15*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^4 - 18*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^2 - 4*a
*b + 3*b^2)*sinh(f*x + e)^2 - b^2 + 2*(3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^5 - 6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x
+ e)^3 - (4*a*b - 3*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2
*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(2*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*co
sh(f*x + e)^7 + 3*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x +
e)^3 + (3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))/(cosh(f*x + e)^6 + 6*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15
*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6
*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + sinh(f*x + e)^6)) + sqrt(b)*log((b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f
*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*a*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + a)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*(c
osh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh
(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(b*cosh(f*x +
e)^3 + a*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)/(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)
))/f, -1/2*(sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*((a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (a - b)
*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cos
h(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/((a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f
*x + e)^3 + (a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^4 - (3*a*b - 2*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (6*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 - 3
*a*b + 2*b^2)*sinh(f*x + e)^2 - b^2 + 2*(2*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^3 - (3*a*b - 2*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f
*x + e))) + sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sq
rt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)
+ sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*
cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*
x + e))*sinh(f*x + e) + b)) - sqrt(-a + b)*log(((a - 2*b)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a - 2*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x
+ e)^3 + (a - 2*b)*sinh(f*x + e)^4 - 2*(3*a - 2*b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*(a - 2*b)*cosh(f*x + e)^2 - 3*a + 2
*b)*sinh(f*x + e)^2 + 2*sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(-
a + b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)
+ sinh(f*x + e)^2)) + 4*((a - 2*b)*cosh(f*x + e)^3 - (3*a - 2*b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + a - 2*b)/(cos
h(f*x + e)^4 + 4*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + sinh(f*x + e)^4 + 2*(3*cosh(f*x + e)^2 + 1)*sinh(f*x + e)^2 +
2*cosh(f*x + e)^2 + 4*(cosh(f*x + e)^3 + cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + 1)))/f, 1/2*(2*sqrt(a - b)*arctan(sqr
t(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 - 1)*sqrt(a - b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)
^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh
(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cos
h(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b))
- sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*((a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (a - b)*sinh(f*x
+ e)^2 + b)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)
*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/((a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3
+ (a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^4 - (3*a*b - 2*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (6*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 - 3*a*b + 2*b
^2)*sinh(f*x + e)^2 - b^2 + 2*(2*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^3 - (3*a*b - 2*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)))
- sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(-b)*sqr
t((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*
x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x +
e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + 2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*si
nh(f*x + e) + b)))/f]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{a + b \sinh ^{2}{\left (e + f x \right )}} \operatorname{sech}{\left (e + f x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)**2)**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(a + b*sinh(e + f*x)**2)*sech(e + f*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sqrt{b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a} \operatorname{sech}\left (f x + e\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(sech(f*x+e)*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sqrt(b*sinh(f*x + e)^2 + a)*sech(f*x + e), x)